Question

已知數(shù)列{a_n}的首項是A₁=5,前n項和為S_n,且S_n+1=2S_n+n+5(n∈N^*).? 

(1)證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列;?

(2)令f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,求函數(shù)f(x)在點x=1處的導數(shù)f′(1),并比較2f′(1)與23n²-13n的大小.

Answer 1

解析:(1)利用a_n與S_n的關(guān)系求出a_n+1 =2a_n+1,變形成a _n+1+1=2(a_n+1),所以{a_n+1}是等比數(shù)列.(2)求導,作差,因式分解分類討論.?

(1)證明:由已知S_n+1=2S_n+n+5.?

所以n≥2時,S_n=2S_n-1+n+4.?

兩式相減,得?

S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+1,?

即a_n+1=2a_n+1,從而a_n+1+1=2(a_n+1).??

當n=1時,S₂=2S₁+1+5,所以a₁+a₂=2a₁+6.?

又a₁=5,所以a₂=11.從而a₂+1=?2(a₁+1).??

故總有a_n+1+1=2(a_n+1),n∈N^*.?

又因為a₁=5,所以a_n+1≠0,從而=2,?

即{a_n+1}是以a₁+1=6為首項,2為公比的等比數(shù)列.?

(2)解析:可知2f′(1)-(23n²-13n)=12(n-1)·2ⁿ-12(2n²-n-1)=12(n-1)·?2ⁿ-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］.(*)?

當n=1時,(*)式=0,所以2f′(1)=23n²-13n;?

當n=2時,(*)式=-12＜0,所以2f′(1)＜23n²-13n;?

當n≥3時,n-1＞0.又2ⁿ=(1+1)ⁿ=C⁰_n+C¹_n+…+C^n-1_n+Cⁿ_n≥2n+2＞2n+1,所以(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］＞0,即(*)式＞0.從而2f′(1)＞23n²-13n.?

用二項式定理證明(2)難度不大,但在特定的解題過程中,想到利用二項式定理來證明,這個念頭難得.