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          設曲線y=2cos2x與x軸、y軸、直線x=
          π12
          圍成的面積為b,若g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上單調遞減,則實數k的取值范圍是
           
          分析:由題意,先用定積分求出b,再由g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上單調遞減,利用其導數在[1,+∞)上恒小于0建立不等式求出實數k的取值范圍.
          解答:解:由題意b=
          π
          12
          0
          2cos2xdx=sin2x
          |
          π
          12
          0
          =sin
          π
          6
          =
          1
          2

          ∴g(x)=2lnx-x2-kx
          ∴g′(x)=
          2
          x
          -2x-k

          ∵g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上單調遞減,
          ∴g′(x)=
          2
          x
          -2x-k
          <0在[1,+∞)上恒成立
          k> 
          2
          x
          -2x
          在[1,+∞)上恒成立
          2
          x
          -2x
          在[1,+∞)上遞減,
          2
          x
          -2x≤0

          ∴k≥0
          由此知實數k的取值范圍是[0,+∞)
          故答案為:[0,+∞).
          點評:本題考查定積分在求面積中的應用,解題的關鍵是利用定積分求出b,再利用導數與單調性的關系將函數遞減轉化為導數值恒負,由此不等式恒成立求出參數的范圍,本題綜合性很強,需要多次轉化變形,運算量較大,解題時一定要注意變形正確,運算嚴謹,避免因變形,運算出錯.
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          4
          3
          ,+∞)
          [-
          4
          3
          ,+∞)

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