Question

【題目】已知數(shù)列中，，且.

（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)按照一定順序重新排列后，構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求滿足條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）不存在.

【解析】

（1）推導(dǎo)出an+1+1＝﹣3（an+1），n∈N*．a1+1＝2，由此能證明{an+1}是以2為首項(xiàng)，﹣3為公比的等比數(shù)列，可求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式．（2）假設(shè)am，an，ap構(gòu)成等差數(shù)列，m≠n≠p，則2an＝am+ap，利用（1）的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)不滿足2an＝am+ap，從而數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)按照一定順序重新排列后，構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以-3為公比的等比數(shù)列，

所以，即；

（2）假設(shè)存在三項(xiàng)按一定順序重新排列后成等差.

①若，則，

整理得，兩邊同除以，

可得，

等式右邊是-3的整數(shù)倍，左邊不是-3的整數(shù)倍，故等式不成立.

②若，則，

整理得，兩邊同除以，

可得，

等式右邊是-3的整數(shù)倍，左邊不是-3的整數(shù)倍，故等式不成立.

③若，則，

整理得，兩邊同除以，

可得，

等式左邊是-3的整數(shù)倍，右邊不是-3的整數(shù)倍，故等式不成立；

綜上，不存在不同的三項(xiàng)符合題意.