Question

【題目】如圖，橢圓C1： 和圓C2：x2+y2=b2 ， 已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A，B，直線EA，EB與橢圓C1的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P，M．
（I）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）求△EPM面積最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由圓C2的面積為π，得：b=1，
圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，可得a=3b=3，
所以橢圓方程為： +y2=1；
（Ⅱ）由題意得：直線PE，ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，
不妨設(shè)直線PE的斜率為k（k＞0），則PE：y=kx﹣1，
由 ，得： 或 ，
所以P（ ， ），同理得M（ ， ），
kPM= ，
由 ，得A（ ， ），所以：kAB= ，
所以 ，
設(shè) ，則 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，所以k﹣ =± ，
則直線AB：y= x= （k﹣ ）x，
所以所求直線l方程為：
【解析】（Ⅰ）由圓的面積公式可得b=1，再由三等分可得a=3b=3，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）由題意得：直線PE，ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，不妨設(shè)直線PE的斜率為k（k＞0），則PE：y=kx﹣1，
代入橢圓方程求得P，M的坐標(biāo)，再由直線和圓方程聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，直線AB的斜率，求得△EPM的面積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式可得最大值，進(jìn)而得到所求直線的斜率，可得直線方程．