Question

如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，  （I）求證：（I）AC⊥BC₁； 

（II）求證：AC ₁//平面CDB₁；

Answer 1

解法一：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴ AC⊥BC₁；

（II）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，∴ DE//AC₁，∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

解法二：∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C₁C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C₁C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C₁（0,0，4），B（0,4，0），B₁（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴??＝0，∴AC⊥BC₁.

（2）設(shè)CB₁與C₁B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC₁.

解析:

（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過(guò)三垂線定理或逆定理證明，二是通過(guò)線面垂直來(lái)證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過(guò)線線平行得到線面平行，二是通過(guò)面面平行得到線面平行.

點(diǎn)評(píng)：平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：

面面平行線面平行線線平行；

主要依據(jù)是有關(guān)定義及判定定理和性質(zhì)定理．?