Question

【題目】如圖，點(diǎn),,,分別為橢圓: 的左、右頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，已知當(dāng)直線軸時(shí)，.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到橢圓的右準(zhǔn)線的距離為上.

①求橢圓的方程;

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】分析：（1）先求當(dāng)直線軸時(shí)，，再根據(jù)條件得，最后由解得離心率，（2）設(shè)直線為，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡，即得

，令，利用基本不等式求最值，最后考慮特殊情形下三角形面積的值.

詳解：解：（1）在中，令

可得，所以

所以當(dāng)直線軸時(shí)，

又，所以

所以，所以

（2）① 因?yàn)?/span>，所以，

橢圓方程為

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為

又，所以此時(shí)直線為

由得

又，所以

所以橢圓方程為

② 設(shè)直線為

由得

即，恒成立

設(shè)，

則 ，

所以

令，則且

，

易知函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，

即的面積的最大值為