Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值，然后利用函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a．

解答：解：函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

…（1分）
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，∴f'（x）≥0故函數(shù)在其定義域（0，+∞）上是單調(diào)遞增的． …（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在（0，a）上是單調(diào)遞減的，在（a，+∞）上是單調(diào)遞減的…（5分）
（2）在[1，e]上，分別進(jìn)行討論．
①當(dāng)a＜1時(shí)，f'（0）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=a＜1，這與函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．
②當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=1，函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．
③當(dāng)1＜a＜e，函數(shù)f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，在（a，e）上有f'（x）＞0，此時(shí)喊得單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）滿足最小值為f（a）=lna+1=

3

2

，
解得a=

e

．
④當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，其最小值為f（e）=2，與條件矛盾．
⑤當(dāng)a＞e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，其最小值為f（e）=1+

a

e

＞2，與條件矛盾．
綜上所述，a=

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用．