Question

已知函數f（x）

1

2

cos²x

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在[

π

12

，

π

4

]上的最大值和最小值，及取得最大值和最小值時的自變量x的值．
（3）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

b+c=2求邊a的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式可求得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，從而可求其最小正周期；
（2）x∈[

π

12

，

π

4

]⇒2x+

π

6

∈[

π

3

，

2π

3

]，利用正弦函數的單調性與最值即可求得函數f（x）在[

π

12

，

π

4

]上的最大值和最小值，及取得最大值和最小值時的自變量x的值；
（3）△ABC中，依題意易求A=

π

3

，b+c=2，利用余弦定理及基本不等式即可求得邊a的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

cos²x

3

2

sinxcosx+1
=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

4

sin2x+1
=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[

π

12

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）_max=

1

2

+

5

4

=

7

4

；
當2x+

π

6

=

π

3

或2x+

π

6

=

2π

3

時，
即x=

π

12

或x=

π

4

時，f（x）_min=

5+ 3

4

；
（3）∵f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

5

4

=

3

2

，b+c=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，0＜A＜π，
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

；
∵b+c=2，
∴a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc≥4-3(

b+c

2

)2=1，當且僅當b=c時取等號，
∴a的最小值是1．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的周期性、單調性與最值，考查余弦定理的應用及基本不等式，屬于中檔題．