Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，若右焦點(diǎn)到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

(1)；（2）.

試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、交點(diǎn)問(wèn)題、直線的斜率、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，根據(jù)條件，設(shè)橢圓的方程，寫出，得焦點(diǎn)，代入點(diǎn)到直線的距離公式，得，得到橢圓的方程；第二問(wèn)，直線方程與曲線方程聯(lián)立，消，得關(guān)于的一元二次方程，據(jù)條件有兩個(gè)不同實(shí)根，所以，解得，利用韋達(dá)定理，求得得中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，求，由，得，整理得，最后解方程組得.
試題解析：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為，          .2分
則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，                .3分
由題意得，解得，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                .5分
（2）設(shè)、、，其中為弦的中點(diǎn)，
由，得        .7分
因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，所以
即   ①，                                .8分
，所以，
從而 ,                            .9分
所以，                       .10分
又，所以，
因而，即  ②，          .11分
把②式代入①式得，解得，           .12分
由②式得，解得，                .13分
綜上所述，求得的取值范圍為.             .14分