Question

若函數(shù)f（x）=lg（ax²+x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：因為函數(shù)f（x）=lg（ax²+x+1）為函數(shù)y=lgx與y=ax²+x+1的復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是同則增，異則減，因為函數(shù)y=lgx在定義域內(nèi)為增函數(shù)，要想復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，只需在定義域上y=ax²+x+1在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，同時還要保證真數(shù)恒大于零，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不等式即可求得a的范圍

解答：解：∵函數(shù)f（x）=lg（ax²+x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)
∴y=ax²+x+1在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且ax²+x+1＞0在（-1，+∞）上恒成立
a=0時，顯然符合題意
a≠0時
∴需y=ax²+x+1  在[-1，+∞）上的最小值a-1+1=a≥0，且對稱軸x=-

1

2a

≤-1，∴0＜a≤

1

2

綜上所述，0≤a≤

1

2

故答案為[0，

1

2

]

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性，不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法