Question

（本小題共13分）在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為，且， ．
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）證明：≤．

Answer 1

解：（Ⅰ）設的公差為，
因為所以
解得 或（舍），．
故 ，．               ……………6分
（Ⅱ）因為，
所以．                  ………9分
故
．                                      ………11分
因為≥，所以≤，于是≤，
所以≤．
即≤．                       ……………13分

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的前n項和，考查學生利用基本量思想和方程思想的解題能力。清晰數(shù)列的通項公式和求和公式聯(lián)立方程求解是解決本類題目常用的解題思路，考查學生的計算能力。在數(shù)列求和問題中，由于題目的千變?nèi)f化，使得不少同學一籌莫展，方法老師也介紹過，就不清楚什么特征用什么方法.為此提供一個通法 “特征聯(lián)想法”：就是抓住數(shù)列的通項公式的特征，再去聯(lián)想常用數(shù)列的求和方法.通項公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法.
特征一：，數(shù)列的通項公式能夠分解成幾部分，一般用“分組求和法”.特征二：，數(shù)列的通項公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯位相減法”.特征三：，數(shù)列的通項公式是一個分式結構，一般采用“裂項相消法”.特征四：，數(shù)列的通項公式是一個組合數(shù)和等差數(shù)列通項公式組成，一般采用“倒序相加法”.本題第二問采用裂項相消法，結合不等式的放縮法進行證明.