Question

【題目】如圖，在正方體中，作棱錐，其中點(diǎn)在側(cè)棱所在直線上，，，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面;

（2）求以為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)本題首先可以連接交于并連接，然后根據(jù)是的中位線得出，即可根據(jù)線面平行的判定證得平面；

(2)本題首先可以過(guò)作的垂線并令垂足為，然后根據(jù)題意得出幾何體的形狀，再然后求出與的長(zhǎng)，最后根據(jù)圓錐的體積公式即可得出結(jié)果.

(1)如圖，連接交于，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以為中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以是的中位線，，

因?yàn)?/span>包含于平面，不包含于平面，

所以平面，

(2)如圖，過(guò)作的垂線，垂足為，則以為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體是以為半徑并且分別以、為高的兩個(gè)圓錐的旋轉(zhuǎn)體，

因?yàn)閭?cè)棱底面，包含于底面，所以，

因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以以為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積為.