Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當時，求數(shù)列的前項和的最小值；

（3）若，問是否存在實數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由題意得出，利用對數(shù)運算得出，然后計算出為非零常數(shù)，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求出和，利用分組求和法得出，然后分析數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，可得出該數(shù)列的最小值為，由此可得出結果；

（3）求出，由數(shù)列是遞增數(shù)列，得出，可得出，然后分和兩種情況分類討論，利用不等式的性質(zhì)和參變量分離法可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）證明：由題意，

即，得，且，．

常數(shù)且，為非零常數(shù)，

數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

（2）當時，，，.

.

，數(shù)列是遞增數(shù)列，

因而最小值為；

（3）由（1）知，，要使對一切成立，

即對一切成立．

當時，，對一切恒成立；

當時，，對一切恒成立，只需，

單調(diào)遞增，當時，．

，且，．

綜上所述，存在實數(shù)滿足條件．