Question

 

    已知函數(shù)其中為常數(shù)，且。

(I)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；

(II)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：（Ⅰ）依題意得，所以，     .………………………1分

         令，得，                                .………………………2分

         ，隨x的變化情況入下表：

x
	－	0	+	0	－
		極小值		極大值

 

………………………4分

         由上表可知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn).

………………………5分

（Ⅱ）   ,                         .………………………6分

由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對(duì)任意恒成立，

.………………………7分

      當(dāng)時(shí)，，顯然對(duì)任意恒成立；    .…………………8分

      當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，

因?yàn)?sub>，不等式等價(jià)于,

.………………………9分

      令，

      則，在上顯然有恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為，            .………………………11分

由于對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，

需且只需，即，解得，因?yàn)?sub>，所以.

綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

.………………………13分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）,                        .………………………6分

由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：對(duì)任意恒成立，

      即對(duì)任意恒成立，                …………………7分

      當(dāng)時(shí)，，顯然對(duì)任意恒成立；    …………………8分

         當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，

.………………………9分

         若，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，要使對(duì)任意恒成立，需且只需，解得，所以;   ..………………………11分

         若，即時(shí)，由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，假如對(duì)任意恒成立，則有，解得，與矛盾，所以不能對(duì)任意恒成立.

綜合上述，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.  .………………………13分