Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且時(shí)，數(shù)列滿足，，對任意，都有.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）令若對任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）根據(jù)，變形為，用累乘法求解，根據(jù)，且，利用等比中項(xiàng)得到數(shù)列是等比數(shù)列，求得通項(xiàng).

（2）用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得，用錯位相減法求得， 再根據(jù)不等式，對任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令求其最大值即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，即.

，

又，也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.

由，且，知數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)公比均為，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式，

（2）.

<1>，

<2>，

由<1>-<2>，得，

，

，

因?yàn)椴坏仁?/span>，對任意的恒成立，

即，對任意的恒成立，

即恒成立.

即恒成立，

令.

則，

因?yàn)?/span>，所以單調(diào)遞增且大于0，

所以 單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，且，故，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.