Question

已知函數(shù)f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-

a

4

x+

3

2

，（a＜0），若對(duì)任意給定的x₀∈[-1，

5

4

]，在區(qū)間[-1，

5

4

]上總存在唯一一個(gè)x₁，使得f（x₁）=g（x₀）成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A．-2≤a≤-

  8

  75

• B．-

  2

  5

  ＜a≤-

  8

  75

• C．-2＜a＜-

  16

  15

• D．-

  16

  15

  ＜a＜-

  2

  5

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，列表分析出函數(shù)f（x）在[-1，

5

4

]上的取值情況，并且由表中數(shù)值看出，只有當(dāng)f（x）的取值在（1-a，1-5a]時(shí)，一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)一個(gè)自變量的值，然后由g（x）的單調(diào)性求出g（x）的值域，由g（x）的值域是（1-a，1-5a]的子集列式求解a的取值范圍．

解答：解：當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

由表可知，當(dāng)f（x）∈（1-a，1-5a]時(shí)，x與f（x）是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
又∵當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=-

a

4

x+

3

2

在[-1，

5

4

]上是增函數(shù)，
∴對(duì)任意x∈[-1，

5

4

]，g（x）∈[

a+6

4

，

24-5a

16

]．
則

a+6 4 ＞1-a 24-5a 16 ≤1-5a

，解得：-

2

5

＜a≤-

8

75

．
∴a的取值范圍為-

2

5

＜a≤-

8

75

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系，是中檔題．