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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD為直角梯形,BC//AD,且AD=2AB=2BC=2,∠BAD=90°,△PAD為等邊三角形,平面ABCD⊥平面PAD;點E、M分別為PDPC的中點.

          1)證明:CE//平面PAB;

          2)求三棱錐MBAD的體積;

          3)求直線DM與平面ABM所成角的正弦值.

          【答案】1)證明見解析;(2 ;(3.

          【解析】

          1)設的中點為,連接,利用三角形的中位線證得,而,由此證得,由此證得四邊形是平行四邊形,進而證得,從而證得平面.

          2)根據等邊三角形的性質,結合面面垂直的性質定理,求得到平面的距離,而的中點,故到平面的距離是到平面的距離的一半.由此求得到平面的距離,進而求得三棱錐的體積.

          3)建立空間直角坐標系,利用直線的方向向量和平面的法向量,計算出線面角的正弦值.

          1)證明:設PA的中點為N,連結EN,BN,

          EPD中點,∴EN為△PAD的中位線,

          EN//AD,且ENAD,

          在梯形ABCD中,BC//AD,且BCAD,

          BC//EN,且BC=EN,∴四邊形ENBC是平行四邊形,∴CE//BN

          BN平面PAB,CE平面PAB,∴CE//平面PAB.

          2)解:∵四棱錐PABCD的底面ABCD為直角梯形,BCAD,且AD=2AB=2BC=2,∠BAD=90°,

          1,

          ∵△PAD為等邊三角形,平面ABCD⊥平面PAD,點MPC的中點.

          AD的中點為O,則PA=PD,∴POAD,

          M到平面ABD的距離d,

          ∴三棱錐MBAD的體積V.

          3)∵平面PAD⊥平面ABCD,交線為AD,PO平面PAD,

          PO⊥平面ABCD,

          又∵CO//BA,∠BAD=90°,∴COAD,

          OAOC,OP,OC兩兩垂直,

          O為原點,OA,OC,OP,OC所在直線分別為x,yz軸,建立空間直角坐標系,

          A1,0,0),B1,0,1),M0,,),D(﹣1,00),

          0,0,1),(﹣1,,),

          設平面ABM的法向量x,y,z),

          ,取x,得),1,),

          cos,

          ∴直線DM與平面ABM所成角的正弦值為.

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