Question

已知橢圓C中心在坐標原點，離心率為

2

2

，左焦點為F₁（-1，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過左焦點F₁的直線l₁，l₂分別與橢圓相交于P、Q和M、N，若

PQ

•

MN

=0，試用
直線l₁的斜率k（k≠0）表示四邊形NQMP的面積S，求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1由題意可得：c=1，

c

a

=

2

2

，從而可求橢圓的方程
（II）由題意知PQ與MN垂直且相交于點F₁，設PQ的方程為：y=k（x+1）
聯(lián)立

y=k(x+1) x2 2 + y2=1

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，   x1x2=

2k2-2

1+2k2

，分別求出MN，PQ，代入到三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式可求面積的最小值

解答：解：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）則a²=b²+c²
由題意可得：c=1，

c

a

=

2

2

∴a=

2

，b=1
∴橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1
（II）由題意知PQ與MN垂直且相交于點F₁，設PQ的方程為：y=k（x+1）

y=k(x+1) x2 2 + y2=1

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，   x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴PQ=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

•

1+k2

1+2k2

MN=2

2

•

1+k2

k2+2

∴S△PMQ=

1

2

PQ•MN=

4(1+k2)2

(1+2k2)(2+k2)

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

當且僅當k²=1時取等號
∴四邊形的面積S的最小值為

16

9

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的求解，解題的一般方法是聯(lián)立方程，根據(jù)方程的性質(zhì)進行求解，還要注意基本不等式在求解最小值中的應用．