Question

已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O焦點(diǎn)在x上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C左、右焦點(diǎn)，M橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過F₁的直線l橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為8

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因?yàn)镸是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為8

2

所以，4a=8

2

，

1

2

×b×2c=4
∴

bc=4 b2+c2=8

，
∴b=c=2，a=2

2

，
∴所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設(shè)存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．
設(shè)圓Q的半徑為r，點(diǎn)P（x₀，y₀），
因?yàn)閳AQ與直線PF₁，PF₂都相切，所以PQ為∠F₁PF₂的角平分線，
∴

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

，∴

|PF1|

4 2

=

|QF1|

4

∴|PF1|=

2

|QF1|
∵|QF₁|=3，∴|PF1|=3

2

∴

(x0+2)2+y02=18 x02 8 + y02 4 =1

解得x0=2，y0=±

2

當(dāng)P（2，

2

）時(shí)，直線PF₁的方程為：x-2

2

y+2=0，Q到直線PF₁的距離=

|1+2|

3

=1；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；當(dāng)P（2，-

2

）時(shí)，直線PF₁的方程為：x+2

2

y+2=0，Q到直線PF₁的距離=

|1+2|

3

=1；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；
所以存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，點(diǎn)P（2，±

2

），圓的方程為：（x-1）²+y²=1．