Question

已知邊長為2的菱形ABCD，如圖（a）所示，∠BAD=60°，過D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，現(xiàn)沿著DE折成一個直二面角，如圖（b）所示；
（1）求AC與BD所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)D到平面ABC的距離；
（3）連接CE，在CE上取點(diǎn)G，使EG=

2 7

7

，連接BG，求證：AC⊥BG．

Answer 1

分析：（1）以E點(diǎn)為原點(diǎn)，以EA為x軸，EB為y軸，ED為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求向量

AC

與

BD

，最后根據(jù)向量的夾角公式可求出AC與BD所成角的余弦值；
（2）先求平面ABC的一個法向量

n

，以及向量

DB

，設(shè)D到平面ABC的距離為d，然后根據(jù)d=

n • DB

| n |

進(jìn)行求解；
（3）先求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量

BG

與

AC

的數(shù)量積為0，判定AC與BG垂直．

解答：解：（1）以E點(diǎn)為原點(diǎn)，以EA為x軸，EB為y軸，ED為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，2，

3

)，D(0，0，

3

)
∴

AC

=(-1，2，

3

)，

BD

=(0，-1，

3

)∴

AC

•

BD

=1
而|

AC

|=2

2

，|

BD

|=2，
設(shè)AC與BD所成的角為θ，則cosθ=

AC • BD

| AC |•| BD

=

2

8

…（4分）
（2）設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，則有

n • AC =0 n • BC =0

∴

n

=(-

3

，-

3

，1)
又

DB

=(0，1，-

3

)，
設(shè)D到平面ABC的距離為d，則d=

n • DB

| n |

=

2 21

7

…（8分）
（3）可求得cos∠BEC=

2 7

7

，sin∠BEC=

21

7

則G(0，

4

7

，

2 3

7

)
∴

BG

=(0，-

3

7

，

2 3

7

)
∴

BG

•

AC

=0
∴

BG

⊥

AC

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用空間向量的方法解決立體幾何問題，同時考查了計算能力，屬于中檔題．