Question

設(shè)t≠0,點P(t,0)是函數(shù)f(x)=x³+ax與g(x)=bx²+c的圖象的一個公共點,兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.

(1)用t表示a、b、c;

(2)若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,求t的取值范圍.

Answer 1

解析：(1)因為函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都過點(t,0),

所以f(t)=0,即t³+at=0.?

因為t≠0,所以a=-t².?

g(t)=0,即bt²+c=0,所以c=ab.?

又因為f(x)、g(x)在點(t,0)處有相同的切線,所以f′(t)=g′(t).?

而f′(x)=3x²+a,g′(x)=2bx,所以3t²+a=2bt.?

將a=-t²代入上式得b=t.?

因此c=ab=-t³.?

故a=-t²,b=t,c=-t³.?

(2)解法一:y=f(x)-g(x)=x³-t²x-tx²+t³,y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t).?

當y′=(3x+t)(x-t)＜0時,函數(shù)y=f(x)-g(x)單調(diào)遞減.?

由y′＜0,若t＞0,則-＜x＜t;?

若t＜0,則t＜x＜-.?

由題意,函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,則(-1,3)?(-,t)或(-1,3)?(t,- ).?

所以t≥3或-≥3,?

即t≤-9或t≥3.?

又當-9＜t＜3時,函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上不單調(diào)遞減.?

所以t的取值范圍為(-∞,-9］∪［3,+∞).?

解法二:y=f(x)-g(x)=x³-t²x-tx²+t³,?

y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t).?

因為函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,且y′=(3x+t)(x-t)是(-1,3)上的拋物線,

所以?

即?

解得t≤-9或t≥3.?

所以t的取值范圍為(-∞,-9］∪［3,+∞).