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        1. 如圖,正△ABC的邊長為4,CD是AB邊上的高,E,F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B.
          (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
          (2)求二面角E﹣DF﹣C的余弦值;
          (3)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.

          解:(1)AB∥平面DEF,理由如下如圖:
          在△ABC中,由E、F分別是AC、BC中點,得EF∥AB,
          又AB平面DEF,EF平面DEF.
          ∴AB∥平面DEF.
          (2)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角
          ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中點M,
          這時EM∥AD
          ∴EM⊥平面BCD 過M作MN⊥DF于點N,連接EN,則EN⊥DF
          ∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角
          在Rt△EMN中,EM=1,MN=
          ∴tan∠MNE=,
          ∴cos∠MNE=
          二面角E﹣DF﹣C的余弦值:
          (3)在線段BC上存在點P,使AP⊥DE
          證明如下:在線段BC上取點P.使BP= BC,過P作PQ⊥CD于Q,
          ∵AD⊥平面BCD
          ∴PQ⊥平面ACD
           ∴DQ=DC=,
          ∴tan∠DAQ=
          =,
          ∴∠DAQ=30°
          在等邊△ADE中,∠DAQ=30°
          ∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE.
          AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ, ∴AP⊥DE.
          此時BP=BC,
          =

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          (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由;
          (2)求二面角E-DF-C的余弦值;
          (3)在線段BC上是否存在一點P,使AP⊥DE?如果存在,求出
          BPBC
          的值;如果不存在,請說明理由.

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          AP
          =
          1
          3
          AB
          +
          2
          5
          AC
          BQ
          =
          1
          5
          AB
          +
          2
          5
          AC

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