Question

已知單位向量

a

，

b

滿足：|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k＞0），則|

a

-

b

|的最大值為

 

．

Answer 1

分析：把已知的等式平方后解出 

a

•

b

 的解析式，再求出   | 

a

 -

b

|2 的最大值，從而得到|

a

-

b

|的最大值．

解答：解：∵單位向量

a

，

b

滿足：|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k＞0），
∴k²

a

2+2k

a

b

+

b

2=3（

a

2-2k

a

b

+k²

b

2 ），∴k²-4k

a

•

b

+1=0，
∴

a

•

b

=

k2+1

4k

，| 

a

 -

b

|2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=2-

k2+1

2k

≤2-

2k

2k

=1，
當(dāng)且僅當(dāng) k=1 時(shí)，| 

a

 -

b

|2 有最大值1，|

a

-

b

|的最大值為 1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的求法，向量的乘方運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用．