Question

已知點F（

2

，0），A（-1，0），B（1，0），直線x=

2

2

上有兩個動點M，N，始終使∠MFN=45°，三角形MFN的外心軌跡為曲線C，P為曲線C在一象限內(nèi)的動點，設(shè)∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，則（　�。�

• A、tanα+tanβ+tanγ=0
• B、tanα+tanβ-tanγ=0
• C、tanα+tanβ+2tanγ=0
• D、tanα+tanβ-2tanγ=0

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：三角函數(shù)的求值,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的第二定義，求出曲線C的方程為x²-y²=1，然后利用兩角和的正切公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵∠MFN=45°，
∴MN所對的圓心角∠MNP=90°，∠MPC=45°，
即cos∠MPC=

PC

MP

=

PC

PF

=

2

2

，
即

PF

PC

=

2

＞1，則根據(jù)雙曲線的第二定義可知，
三角形外接圓的圓心P的軌跡是以F為焦點，離心率e=

2

的雙曲線，
其中c=

2

，由e=

c

a

=

2

，解得a=1，b²=c²-a²=1，
即雙曲線的方程為x²-y²=1，則y²=x²-1，
∵P為曲線C在一象限內(nèi)的動點，設(shè)∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，
∴設(shè)P（x，y），則tan∠PAB=tanα=

y

x+1

，-tan∠PBA=-tanβ=

y

x-1

，
則-tanαtanβ=

y

x+1

•

y

x-1

=

y2

x2-1

=1，
即tanαtanβ=-1，
tan∠APB=tanγ=tan（180°-α-β）=-tan（α+β）=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-

tanα+tanβ

2

，
即tanα+tanβ+2tanγ=0，
故選：C

點評：本題主要考查圓錐曲線的方程的求解以及兩角和的正切公式的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線的第二定義，求出曲線C的方程是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．