Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點A（0，5），B（-8，3），直線CD過坐標原點O，且在線段AB的右下側(cè)，求：
（1）橢圓G的方程；
（2）四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先將點A（0，5），B（-8，3），代入橢圓的方程解得：a=10 b=5，最后寫出橢圓G的方程；
（2）連OB，則四邊形ABCD的面積=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC，=

1

2

|y_B|AO+

1

2

d_A×OD+

1

2

d_B×OC，d_A，d_B分別表示A，B到直線CD的距離，設(shè)CD：-kx+y=0，代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合求根公式即可求得四邊形ABCD的面積，最后結(jié)合基本不等式求最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）將點A（0，5），B（-8，3），代入橢圓的方程得：b=5，且

64

a2

+

9

b2

=1
解得：a=10 b=5，橢圓G的方程為：

x2

100

+

y2

25

=1
（2）連OB，則四邊形ABCD的面積：S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC=

1

2

|y_B|AO+

1

2

d_A×OD+

1

2

d_B×OC
d_A，d_B分別表示A，B到直線CD的距離，設(shè)CD：-kx+y=0，代入橢圓方程得：
x²+4k²x²-100=0，
∴D（

10

1+4k 2

，

10k

1+4k 2

）
OC=OD=

10 1+k 2

1+4k 2

，
又d_A=

5

1+k 2

，d_B=

8k-3

1+k 2

，
∴四邊形ABCD的面積：S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC=

1

2

|y_B|×AO+

1

2

d_A×OD+

1

2

d_B×OC
=

5

1+k 2

×

10 1+k 2

1+4k 2

+

1

2

8k-3

1+k 2

×

10k

1+4k 2

=20+10×

1+5k+16k 2

1+4k 2

≤20+10

5

．
四邊形ABCD的面積的最大值為：20+10

5

．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．