Question

【題目】已知渡船在靜水中速度的大小為,河水流速的大小為.如圖渡船船頭

方向與水流方向成夾角,且河面垂直寬度為.

（Ⅰ）求渡船的實際速度與水流速度的夾角；

（Ⅱ）求渡船過河所需要的時間.[提示： ]

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）以為原點建立平面直角坐標系，根據兩個速度的大小和夾角，可求得兩個速度對應的坐標，利用向量的加法坐標勻速，可得和速度的坐標，由此求和和速度的大小和角度.（II）由（I）結論可求得垂直對岸方向上的速度大小，利用路程除以速度可得時間.

試題解析：

方法一:(向量坐標法)

以為坐標原點， 所在直線為軸建立平面直角坐標系

由條件,,

知，

由，即

所以

所以，

即所以渡船的實際速度與水流速度的夾角;

（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度為

所以渡船過河所需要的時間 .

方法二:(正、余弦定理)

（Ⅰ）如圖所示， ，設渡船的合速度，則

由條件,

,

根據向量的平行四邊形法則有： ,,

在中, 由余弦定理得

在中, 由正弦定理得,得

所以渡船的實際速度與水流速度的夾角;

（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走過路程為

所以渡船過河所需要的時間 .