Question

S_n是無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，公比q≠1，已知1是

1

2

S₂和

1

3

S₃的等差中項(xiàng)，6是2S₂和3S₃的等比中項(xiàng)．
（1）求S₂和S₃的值；
（2）求此數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求此數(shù)列的各項(xiàng)和S．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)1是

1

2

S₂和

1

3

S₃的等差中項(xiàng)，6是2S₂和3S₃的等比中項(xiàng)列出關(guān)于S₂和S₃的方程，解方程組即可求值；
（2）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)果求出首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)；
（3）直接根據(jù)其公比的絕對(duì)值的范圍，代入公式即可．

解答：解：（1）由題得：

1 2 s2+  1 3 s3=2 2s2•3s3=36

⇒s₂=2，s₃=3．
（2）由

a1+a1q=2 a1+a1q+a1q2=3

⇒

a1=4 q=- 1 2

或

a1=1 q=1

（舍）．
∴a_n=4•（-

1

2

）^n-1．
（3）∵|q|=|-

1

2

|=

1

2

＜1．
∴s=

a1

1-q

=

4

1- (- 1 2 )

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．解決這類題目的關(guān)鍵在于能熟練運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．