Question

已知PA⊥菱形ABCD所在平面，點(diǎn)E、F分別為線(xiàn)段BC、PA的中點(diǎn)．    
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求證：BF∥平面PDE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，又由ABCD是菱形，可得AC⊥BD，進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，進(jìn)而B(niǎo)D⊥PC．
（2）取線(xiàn)段PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，由中位線(xiàn)定理可得FG∥AD，且FG=

1

2

AD，又由BE∥AD，且BE=

1

2

AD，進(jìn)而四邊形BEGF是平行四邊形，進(jìn)而B(niǎo)F∥EG，再由線(xiàn)面平行的判定定理得到BF∥平面PDE

解答： 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（2）取線(xiàn)段PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
則FG∥AD，且FG=

1

2

AD，
又BE∥AD，且BE=

1

2

AD，
∴FG∥BE，F(xiàn)G=BE，
∴四邊形BEGF是平行四邊形，
∴BF∥EG，
又BF?平面PDE，EG?平面PDE，
∴BF∥平面PDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定定理，直線(xiàn)與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，難度不大，屬于中檔題．