Question

（本題滿分10分）在數列{a_n}，{b_n}中，a₁＝2，b₁＝4，且a_n，b_n，a_n＋1成等差數列，b_n，a_n＋1，b_n＋1成等比數列(n∈N^*)．求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.證明見解析.

猜測a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²，n∈N^*.     

【解析】主要考查了數列的通項公式和數學歸納法的運用。

由條件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，＝b_nb_n＋1，

由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.

猜測a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²，n∈N^*.

用數學歸納法證明：

①當n＝1時，由已知a₁＝2，b₁＝4可得結論成立．

②假設當n＝k(k≥2且k∈N^*)時，結論成立，即

a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，

那么當n＝k＋1時，

a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

b_k＋1＝＝＝(k＋2)².

解：由條件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，＝b_nb_n＋1，

由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.

猜測a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²，n∈N^*.                     4分

用數學歸納法證明：

①當n＝1時，由已知a₁＝2，b₁＝4可得結論成立．

②假設當n＝k(k≥2且k∈N^*)時，結論成立，即

a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，

那么當n＝k＋1時，

a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

b_k＋1＝＝＝(k＋2)².

所以當n＝k＋1時，結論也成立．

由①②可知，a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²對一切n∈N^*都成立．     10分