Question

已知橢圓：的面積為π，包含于平面區(qū)域內(nèi)，向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓內(nèi)的概率為．

（Ⅰ）試求橢圓的方程；

（Ⅱ）若斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，

記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）  為定值0

解析:

  （Ⅰ）平面區(qū)域是一個矩形區(qū)域，如圖所示．      ………2分     

依題意及幾何概型，可得，       ……………………3分

即 ．　　因?yàn)椤?img width=135 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/162/414362.gif" >，

所以，　．     

                                         ………………5分

所以，橢圓的方程為    ……6分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得：

 

（1）代入（2）得：

化簡得：………（3）                    ……………8分

當(dāng)時，即，

也即，時，直線與橢圓有兩交點(diǎn)，

由韋達(dá)定理得：，                           ………………10分

所以，，

則

                         ……………13分

所以，為定值。                                     ……………14分