Question

（2013•閔行區(qū)一模）已知橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，右焦點為F，直線l的傾斜角為

π

4

，直線l與圓x²+y²=3相切于點Q，且Q在y軸的右側(cè)，設(shè)直線l交橢圓E于兩個不同點A，B．
（1）求直線l的方程；
（2）求△ABF的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線方程，利用點到直線的距離等于半徑求出，直線方程中的變量，即可得到直線方程．
（2）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，通過弦長公式求出|AB|距離，然后表示出三角形的面積，即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)直線l的方程為y=x+m，
則有

|m|

2

=

3

，得m=±

6

…（3分）
又切點Q在y軸的右側(cè)，所以m=-

6

，…（2分）
所以直線l的方程為y=x-

6

…（2分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=x- 6 x2 4 + y2 3 =1

得7x2-8

6

x+12=0…（2分）x1+x2=

8 6

7

，x1x2=

12

7

|AB|=

1+1

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

…（2分）
又F（1，0），所以F到直線l的距離d=

|1- 6 |

2

=

1

2

(2

3

-

2

)…（2分）
所以△ABF的面積為

1

2

|AB|d=

2

7

(3

2

-2

3

)…（1分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，直線與圓相切切線方程的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．