Question

已知定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

是增函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，從而可求b的值，根據(jù)f(

1

2

)=

2

5

，求出a的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x）是增函數(shù)，由f（t-1）+f（2t）＜0得f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），可得不等式組，解之，即可求解不等式．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，得b=0，
又因為f(

1

2

)=

2

5

，所以

1 2 a

( 1 2 )2+1

=

2

5

⇒a=1，
所以f(x)=

x

x2+1

；
（Ⅱ）因為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x）是增函數(shù)，由f（t-1）+f（2t）＜0得f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t）
所以有

-1＜t-1＜1 -1＜2t＜1 t-1＜-2t

⇒

0＜t＜2 - 1 2 ＜t＜ 1 2 t＜ 1 3

，
解得0＜t＜

1

3

．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查學生的計算能力，正確運用函數(shù)的單調(diào)性是關鍵．