Question

【題目】設(shè)函數(shù)為常數(shù)) .

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程:

(2)若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷，是在內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2) ，為函數(shù)的極小值點(diǎn)

【解析】

（1）求出，，即可求出切線方程；

（2）轉(zhuǎn)化為在有唯一解，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再轉(zhuǎn)為直線與構(gòu)造函數(shù)的交點(diǎn)，通過求導(dǎo)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

解: (1)當(dāng)時(shí)，，

所求切線的斜率，又.

所以曲線在處的切線方程為.

(2)

又，則要使得在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，

則在存在唯一零點(diǎn)，

即方程在內(nèi)存在唯一解，，

，即與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn).

設(shè)函數(shù)，

則在單調(diào)遞減，

又；當(dāng)時(shí)，，

時(shí)與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn)，設(shè)為

當(dāng)時(shí)，，

則，在為減函數(shù):

當(dāng)時(shí)，，

則，在為增函數(shù).

即為函數(shù)的極小值點(diǎn).

綜上所述:，且為函數(shù)的極小值點(diǎn)