Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1且數(shù)列{

Sn

}是公差為1的等差數(shù)列
（1）求S_n和通項(xiàng)公式a_n；
（2）通過公式bn=

Sn •an

n+c

構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，當(dāng){b_n}是等差數(shù)列時(shí)，求實(shí)數(shù)c．

Answer 1

分析：（1）由正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1且數(shù)列{

Sn

}是公差為1的等差數(shù)列，推導(dǎo)出Sn=n2，從而能求出a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）由bn=

Sn •an

n+c

，Sn=n2，a_n=2n-1，能推導(dǎo)出bn=

n(2n-1)

n+c

=kn+b，由此能求出c．

解答：解：（1）∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1且數(shù)列{

Sn

}是公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=

S1

+(n-1)×1=n，
Sn=n2，
∴S_n-S_n-1=2n-1，n≥2，
S₁=a₁=2×1-1，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）∵bn=

Sn •an

n+c

，Sn=n2，a_n=2n-1，
∴bn=

n(2n-1)

n+c

=kn+b，
∴2n²-n=kn²+（b+kc）n+bc，
∴

bc=0 b+kc=-1

，
解得

k=2 c=0

，或

k=2 c=- 1 2

，
故c=0，或c=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．