Question

（1）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=

2an2+3an+m

an+1

(n∈N*)，①若恒有a_n+1≥a_n，求m的取值范圍．②在-3≤m＜1時(shí)，證明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

（2）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n滿足條件：（a_n）ⁿ+na_n-1=0（n∈N^*），求證：0＜an≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）①將該不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用分離變量思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，從而求出m的取值范圍；
②將每一項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放縮轉(zhuǎn)化，通過放縮轉(zhuǎn)化化為特殊數(shù)列進(jìn)行求和，即可證明．
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，判斷即可．

解答：解：（1）①由題意可知an+1=

2an2+3an+m

an+1

≥a_n，可得m≥-

a

2 n

 -an，
因?yàn)閍_n+1≥a_n，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
∴m≥-3．
②-3≤m＜1時(shí)，由①知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
設(shè)數(shù)列cn=

1

an+1

，則cn+1=

1

an+1+1

=

1

2 a 2 n +3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，即m-1＜0，
故cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2

•

1

an+1

=

1

2

cn，
∴c1=

1

2

，c2＞

1

2

c1=

1

22

，c3＞

1

2

c2＞

1

23

，…，cn＞

1

2

cn-1＞

1

2n

(n≥2)
∴c1+c2+…+cn=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＞

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
即在-3≤m＜1時(shí)，有

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

成立．
cn=

1

an+1

（2）令f（x）=xⁿ+nx-1，
f′（x）=nx^n-1+n，
x＞0，f′（x）＞0，所以函數(shù)是增函數(shù)，
∵f(0)＜0  ， f(

1

2

)≥0
所以f（x）=0在（0，+∞）上恰有一根，且根在(0，

1

2

]上，
得證

點(diǎn)評：本題考查給出數(shù)列的遞推關(guān)系，考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，關(guān)鍵要轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，處理數(shù)列恒成立問題的函數(shù)思想．放縮法證明不等式的思想，做好這類問題的關(guān)鍵是向特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化．