Question

【題目】某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD，AB＝50米，，為了便于居民平時休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE，EF和OF，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且,如圖所示.

（Ⅰ）設(shè)，試將的周長l表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費用均為400元，試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)定義及勾股定理，即可表示出EF長度，進而用α表示出周長。根據(jù)點E、F的極限位置，判斷出角的大小范圍得到定義域。

（Ⅱ）利用三角函數(shù)換元，將周長轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，結(jié)合角α的范圍求得t的范圍，進而得到l的范圍，即為費用最低時的長度。

（Ⅰ）∵在中，,∴

在中，，∴

又，

∴即.

當(dāng)點F在點D時，這時角最小，求得此時；

點E在C點時，這時角最大，求得此時.故此函數(shù)的定義域為

（Ⅱ）由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求的周長l最小值即可.

由（Ⅰ）得，，

設(shè)，則，∴

由，得，∴，

從而，當(dāng)，即BE＝25時，

所以當(dāng) 米時，鋪路總費用最低，最低總費用為元