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        1. 已知圓M:x2+(y-4)2=4,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓的切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.
          (Ⅰ)當(dāng)P的橫坐標(biāo)為
          165
          時(shí),求∠APB的大;
          (Ⅱ)求證:經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N必過定點(diǎn),并求出所以定點(diǎn)的坐標(biāo).
          (Ⅲ)求線段AB長度的最小值.
          分析:(Ⅰ)由題可知,圓M的半徑r=2,P(
          16
          5
          8
          5
          )
          ,∠MAP=90°,根據(jù)MP=2r,可得∠MPA=30°,從而可求∠APB的大;
          (Ⅱ)設(shè)P的坐標(biāo),求出經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓的方程即可得到圓過定點(diǎn);
          (Ⅲ)將圓N與圓M方程相減,可得圓M方程與圓N相交弦所在直線m方程,求出點(diǎn)M到直線m的距離,即可得到相交弦長,利用配方法,可求AB的最小值
          11
          解答:(Ⅰ)解:由題可知,圓M的半徑r=2,P(
          16
          5
          ,
          8
          5
          )

          因?yàn)镻A是圓M的一條切線,所以∠MAP=90°
          又因MP=
          (0-
          16
          5
          )
          2
          +(4-
          8
          5
          )
          2
          =4
          =2r,
          又∠MPA=30°,∠APB=60°;           …(4分)
          (Ⅱ)證明:設(shè)P(2b,b),因?yàn)椤螹AP=90°,所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑,其方程為:(x-b)2+(y-
          b+4
          2
          )2=
          4b2+(b-4)2
          4
          ,即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0
          2x+y-4=0
          x2+y2-4y=0
          ,…(7分)
          解得
          x=0
          y=4
          x=
          8
          5
          y=
          4
          5
          ,所以圓過定點(diǎn)(0,4),(
          8
          5
          ,
          4
          5
          )
             …(9分)
          (Ⅲ)解:因圓N方程為(x-b)2+(y-
          b+4
          2
          )2=
          4b2+(b-4)2
          4
          即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0         …①
          圓M:x2+(y-4)2=4即x2+y2-8y+12=0     …②
          ②-①得圓M方程與圓N相交弦所在直線m方程為2bx+(b-4)y+12-4b=0…(11分)
          點(diǎn)M到直線m的距離d=
          4
          5b2-8b+16
               …(13分)
          相交弦長即AB=2
          4-d2
          =4
          1-
          4
          5b2-8b+16
          =4
          1-
          4
          5(b-
          4
          5
          )
          2
          +
          64
          5
           …(15分)
          當(dāng)b=
          4
          5
          時(shí),AB有最小值
          11
                       …(17分)
          點(diǎn)評:本題考查直線與圓的綜合,考查圓過定點(diǎn),考查圓的弦長問題,考查兩圓位置關(guān)系,確定圓的方程是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓M:x2+(y-2)2=1,定點(diǎn)A(4,2)在直線x-2y=0上,點(diǎn)P在線段OA上,過P點(diǎn)作圓M的切線PT,切點(diǎn)為T.
          (1)若MP=
          5
          ,求直線PT的方程;
          (2)經(jīng)過P,M,T三點(diǎn)的圓的圓心是D,求線段DO長的最小值L.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(3
          2
          ,4)
          ,點(diǎn)B(
          10
          ,2
          5
          )

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)已知圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓C有相同的焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QA、QB分別切圓M于A,B兩點(diǎn).
          (1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0),求切線QA、QB的方程;
          (2)求四邊形QAMB的面積的最小值;
          (3)若|AB|=
          4
          2
          3
          ,求直線MQ的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓M:x2+(y-2)2=1,設(shè)點(diǎn)B,C是直線l:x-2y=0上的兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+4(t∈R),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a且點(diǎn)P在線段BC上,過P點(diǎn)作圓M的切線PA,切點(diǎn)為A
          (1)若t=0,MP=
          5
          ,求直線PA的方程;
          (2)經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓的圓心是D,
          ①將DO2表示成a的函數(shù)f(a),并寫出定義域.
          ②求線段DO長的最小值.

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          同步練習(xí)冊答案