Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），求切線QA、QB的方程；
（2）求四邊形QAMB的面積的最小值；
（3）若|AB|=

4 2

3

，求直線MQ的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線QA、QB的方程；
（2）求出四邊形QAMB的面積的表達(dá)式，利用|MQ|＞|MO|求出面積的最小值；
（3）設(shè)AB與MQ交于點(diǎn)P，通過(guò)MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，即可求直線MQ的方程．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x=my+1，------（1分）
則圓心M到切線的距離為1，∴

|2m+1|

m2+1

=1⇒m=-

4

3

或0，------（4分）
∴切線QA、QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1------（5分）
（2）∵M(jìn)A⊥AQ，∴S_MAQB=|MA|•|QA|=

|MQ|2-|MA|2

=

|MQ|2-1

≥

|MO|2-1

=

3

------（10分）
（3）設(shè)AB與MQ交于點(diǎn)P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=3
設(shè)Q（x，0），則x2+22=9，x=±

5

，∴Q(±

5

，0)
∴直線MQ的方程為2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線方程的求法，四邊形面積的求法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．