Question

【題目】已知函數(shù) 是 的導(dǎo)函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論 的單調(diào)性；
（2）當(dāng) 時，證明： ；
（3）當(dāng) 時，判斷函數(shù) 零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對函數(shù) 求導(dǎo)得 ，

，

①當(dāng) 時， ，故 在 上為減函數(shù)；

②當(dāng) 時，解 可得 ，故 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 ；

（2）

，設(shè) ，則 ，

易知當(dāng) 時， ，

；

即g（ ）＞0.

（3）

由（1）可知，當(dāng) 時， 是先減再增的函數(shù)，

其最小值為 ，

而此時 ，且 ，故 恰有兩個零點 ，

∵當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，

，

∴ 在 兩點分別取到極大值和極小值，且 ，

由 知 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，但當(dāng) 時， ，則 ，不合題意，所以 ，故函數(shù) 的圖象與 軸不可能有兩個交點.

∴函數(shù) 只有一個零點.

【解析】（1）g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性，可考慮二階求導(dǎo)；（2）利用導(dǎo)數(shù)表示出單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性進行證明；（3）根據(jù)g（x）大致判斷f（x）的單調(diào)性，并計算出極值點，將極值點代入f（x）中，判斷f（x）零點的個數(shù)。
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解基本求導(dǎo)法則(若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo))．