Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足： ，且該函數(shù)的最小值為1．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)的定義域為（其中），問是否存在這樣的兩個實數(shù)， ，使得函數(shù)的值域也為？若存在，求出， 的值；若不存在，請說明理由．

（3）若對于任意的，總存在使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在滿足條件的， ，其中， （3）

【解析】試題分析： 設(shè)，由，求出的值，可得此二次函數(shù)的解析式；

分時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況討論，可得滿足條件的， ，其中， ；

若對于任意的，總存在，使得，進(jìn)而得到答案；

解析：（1）依題意，可設(shè)，因，代入得，所以．

（2）假設(shè)存在這樣的， ，分類討論如下：

當(dāng)時，依題意， 即兩式相減，整理得

，代入進(jìn)一步得，產(chǎn)生矛盾，故舍去；

當(dāng)時，依題意，

若， ，解得或（舍去）；

若， ，產(chǎn)生矛盾，故舍去；

當(dāng)時，依題意， 即解得， 產(chǎn)生矛盾，故舍去.

綜上：存在滿足條件的， ，其中， .

（3）依題意： ，

由（1）可知， ， ，

即在上有解；

整理得， 有解，

又 ， ，當(dāng)時，有；

依題意： ．