Question

已知函數(shù)

（1）若 時(shí)，函數(shù) 在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍

（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù) ，求函數(shù) 的最小值；

（3）設(shè)函數(shù)的圖象C₁ 與函數(shù)的圖象C₂ 交于P,Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)R，使C₁ 在M處的切線與C₂ 在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

⑴；⑵和⑶見解析。

解析:

解：（1）依題意：  在是增函數(shù)

對恒成立，

（2）設(shè)   則 函數(shù)化為  

 當(dāng)函數(shù)y在【1，2】上為增函數(shù)，

 當(dāng)

 當(dāng)函數(shù)y在【1，2】上為減函數(shù)

綜上：當(dāng) ； 當(dāng)；

          當(dāng) 

（3）設(shè)點(diǎn)P、Ｑ的坐標(biāo)是（x₁,y₁）、（x₂，y₂），且0<x₁<x_{2 ,}，則點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為

。C₁在點(diǎn)M處的切線斜率為。C₂在點(diǎn)N處的切線斜率為。假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則，則

=y₂—y₁=lnx₂—lnx₁=ln

    設(shè)u=>1，則lnu=,u>1   ①

令，則

   上單調(diào)遞增，故

這與①矛盾，假設(shè)不成立，故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行。