Question

如圖，在直角梯形ABCD外一點(diǎn)P，且∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．AE⊥PD，E為垂足．
（1）求點(diǎn)D到平面PBC的距離；
（2）求證：BE⊥PD；
（3）求異面直線AE與CD所成角的大�。�（用反三角函數(shù)來表示）

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，先求出平面PBC的法向量，然后求出CD向量在法向量上的投影的長度即為D點(diǎn)到平面PBC的距離．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積為零可知線線垂直，從而

PD

⊥面BEA，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PD⊥BE．
（3）先分別求出向量

AE

，向量

CD

的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角公式求出兩向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到AE與CD所成角的余弦值，即可得到答案．

解答：解：（1）為了計算方便不妨設(shè)a=1，所以AB=BC=1，AD=2，
由題意可得：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），
則 A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2 3

3

)，C（1，1，0），
所以

PB

=(1，0，-

2 3

3

)，

BC

=(0，1，0)，

CD

=(-1，1，0)，
設(shè)

V

=(x，y，z)，并且

V

⊥平面PBC，則

V

⊥ 

BC

， 

V

⊥ 

PB

，
所以

(x，y，z)•(1，0，- 2 3 3 )=0 (x，y，z)•(0，1，0)=0

，即

x- 2 3 3 z=0 y=0

，
令z=1則 x=

2 3

3

，

V

=(

2 3

3

，0， 1)
D點(diǎn)到平面PBC的距離設(shè)為d，
則 d=

| V • CD |

| V |

=

2 7

7

，
即D點(diǎn)到平面PBC的距離為

2 7

7

，
所以D點(diǎn)到平面PBC的距離為

2 7

7

a．
（2）證明：由題意可得：

AB

=(1，0，0)，

PD

=(0，2，-

2 3

3

)，
所以

AB

•

PD

=(1，0，0)•(0，2，-

2 3

3

)=0，
所以

AB

⊥

PD

，即AB⊥PD，
又因?yàn)锳E⊥PD，
所以 PD⊥面BEA，
又因?yàn)锽E?面BEA，
所以PD⊥BE．
（3）∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，
∴∠PDA=30°
過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=AD•sin30°=1，并且∠EAF=60°
所以AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又 C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
則 COSθ=

AE • CD

| AE || CD |

=

2

4

，
所以AE與CD所成角的余弦值為

2

4

，
所以異面直線AE與CD所成角的大小為arccos

2

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線線的位置關(guān)系、線線所成角以及點(diǎn)到面的距離，同時考查了利用空間向量求解立體幾何問題，考查空間想象能力，運(yùn)算求解能力，屬于綜合題．