Question

已知⊙O：，為拋物線的焦點(diǎn)，為⊙O外一點(diǎn)，由作⊙O的切線與圓相切于點(diǎn)，且

（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程

（2）設(shè)A為拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，由A向曲線C作兩條切線AB、AC，其中B、C為切點(diǎn).求證：直線BC必過(guò)定點(diǎn)

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】(1)先求出拋物線的焦點(diǎn)M（2，0），設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091820381491276178/SYS201209182039026538445780_DA.files/image003.png">,

然后根據(jù)坐標(biāo)化建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程.

(2)拋物線的準(zhǔn)線為x=-2, 設(shè)A,再根據(jù)，

可得以A為圓心,為半徑的圓的方程為,再與圓O的方程作差可得公共弦所在直線方程，從而可找到直線所過(guò)定點(diǎn).

解：（1）拋物線的焦點(diǎn)M（2，0）………….1分  設(shè)

 ………4分      化簡(jiǎn)得方程

P點(diǎn)軌跡為⊙C: …………6分

(2)拋物線準(zhǔn)線方程為…………..7分     設(shè)A

⊙C: 化為………..�、�

C(4,0),半徑…………..8分     由已知得

以A為圓心,為半徑的圓的方程為

即………..②……………10分

由于BC為兩圓公共弦所在直線   由②－①得BC直線方程…………12分

  得     直線BC過(guò)定點(diǎn)…………14分