Question

已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點．若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）點就是所求的點

試題分析：（Ⅰ）橢圓的兩焦點與短軸的一個端點連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．
又因為橢圓經(jīng)過點，代入可得，2分
所以，故所求橢圓方程為．4分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時，直線為，直線交橢圓于、兩點，以為直徑的圓的方程為； 
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，直線交橢圓于、兩點，以為直徑的圓的方程為，
由解得
即兩圓相切于點，因此，所求的點如果存在，只能是．8分
事實上，點就是所求的點．
證明如下：
當(dāng)的斜率不存在時，以為直徑的圓過點．9分
若的斜率存在時，可設(shè)直線為，
由消去得．
記點、，則    10分
又因為，
所以
．
所以，即以為直徑的圓恒過點，12分
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件．13分
點評：主要是考查了解析幾何中運用代數(shù)的方法來建立方程組結(jié)合韋達定理來研究位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。