Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在極大值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)（）的最值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用單調(diào)性計(jì)算的零點(diǎn)，得的極大值點(diǎn)，再研究函數(shù)值證得結(jié)論．

解：（Ⅰ）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

在恒成立，即在恒成立.

令，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增

.

，的取值范圍是.

（Ⅱ）存在極大值點(diǎn)，至少存在一個(gè)零點(diǎn)，由（Ⅰ）知，.

即函數(shù)的圖像與直線至少存在一個(gè)交點(diǎn)，

由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，

取，，在上存在一個(gè)零點(diǎn).

由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，即，，

取，，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，且，即.

，即.