Question

【題目】已知圓，，動(dòng)圓與圓、都相切，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為________；直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為、、，則的最大值為________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況討論①圓與圓外切，與圓內(nèi)切；②圓與圓、都內(nèi)切.利用橢圓的定義可求得軌跡的方程；由直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，可知直線與橢圓相切，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合不等式的性質(zhì)可求得的最大值.

已知圓，，則圓內(nèi)含于圓，

圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分以下兩種情況討論：

①圓與圓外切，與圓內(nèi)切，

由題意可得，，

此時(shí)，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

，，則，此時(shí)，軌跡的方程為；

②圓與圓、都內(nèi)切，且，

由題意可得，，

此時(shí)，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

，，，此時(shí)，軌跡的方程為；

綜上所述，軌跡的方程為或；

由于直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則直線與橢圓相切.

①若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時(shí)；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去并整理得，

，可得，

設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去并整理得，

，

由韋達(dá)定理得，，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.

故答案為：或；.