Question

【題目】已知正四棱錐P﹣ABCD如圖．

（Ⅰ）若其正視圖是一個邊長分別為、，2的等腰三角形，求其表面積S、體積V；

（Ⅱ）設(shè)AB中點為M，PC中點為N，證明：MN∥平面PAD．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（I）作出棱錐的高和斜高，利用勾股定理求出棱錐的高，代入面積，體積公式計算；（II）取PD的中點Q，證明AMNQ是平行四邊形得出MN∥AQ，于是MN∥平面PAD

試題解析：（I）過P作PE⊥CD于E，過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，

則PE⊥CD，E為CD的中點，O為正方形ABCD的中心．

∵正四棱錐的正視圖是一個邊長分別為、，2的等腰三角形，

∴PE=，BC=CD=2，

∴OE=，∴PO==．

∴正四棱錐的表面積S=S正方形ABCD+4S△PCD=22+4×=4+4．

正四棱錐的體積V===．

（II）過N作NQ∥CD，連結(jié)AQ，

∵N為PC的中點，∴Q為PD的中點，

∴NQCD，又AMCD，

∴AMNQ，

∴四邊形AMNQ是平行四邊形，

∴MN∥AQ，又MN平面PAD，AQ平面PAD，

∴MN∥平面PAD．