Question

若()ⁿ展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列.求：

（1）展開式中含ｘ的一次冪的項；

（2）展開式中所有ｘ的有理項；

（3）展開式中系數(shù)最大的項.

Answer 1

思路解析：首先應(yīng)根據(jù)題意，得到關(guān)于ｎ的方程，解得ｎ的值，然后根據(jù)題目的要求解答每一問.這三問都與二項展開式的通項公式有關(guān)，通項為T_r+1=.

解：由已知條件知，解得ｎ=8或ｎ=1（舍去）.

（1）T_r+1=，令4-r=1.解得r=4.

所以ｘ的一次冪的項為T₄₊₁=x.

（2）令4-r∈Z(r≤8)，則只有當(dāng)ｒ=0,4，8時，對應(yīng)的項才為有理項，有理項分別為：T₁=x⁴;T₅=x;T₉=.

（3）記第ｒ項系數(shù)為t_r，設(shè)第ｋ項的系數(shù)最大，則有：t_k≥t_k+1,且t_k≥t_k-1.

又t_r=·2^-r+1,于是有,即

解得3≤k≤4，所以系數(shù)最大項為第3項T₃=7·和第4項T₃=7·x.