Question

已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)虛根x₁，x₂，且(1-3ai)i=c-

a

i

（i為虛數(shù)單位），|x₁-x₂|=1，求實(shí)數(shù)b的值、

Answer 1

分析：化簡(1-3ai)i=c-

a

i

，利用復(fù)數(shù)相等，求出a，c，代入一元二次方程ax²+bx+c=0，求出兩個(gè)虛根x₁，x₂，代入|x₁-x₂|=1，求出b的值．

解答：解：由題設(shè)(1-3ai)i=c-

a

i

，即：-（1-3ai）=ci-a，得

1=a 3a=c

解得a=1，c=3，
代入方程x²+bx+3=0，求出兩虛根為x1=

-b+ 12-b2 i

2

，x1=

-b- 12-b2 i

2

，
于是|x1-x2|=|

-b+ 12-b2 i

2

-

-b- 12-b2 i

2

|=

12-b2

，
由

12-b2

=1，得b=

11

或b=-

11

．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)求模，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．