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        1. 設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,
          nan+1
          an
          =
          (n+1)an
          an+1
          +1
          ,令b1=a1,bn=n2[a1+
          1
          a22
          +
          1
          a32
          +…
          +
          1
          an-12
          ](n≥2)

          (Ⅰ)求an
          (Ⅱ)求證:(1+
          1
          b1
          )(1+
          1
          b2
          )…(1+
          1
          bn
          )<4(n≥1)
          分析:(Ⅰ)令t=
          an+1
          an
          ,則nt=
          n+1
          t
          +1⇒t=
          n+1
          n
          或t=-1(舍去)即
          an+1
          an
          =
          n+1
          n
          ,然后利用迭乘法可求出an的值.
          (II)根據(jù)題目條件可知
          bn+1
          bn+1
          =
          n2
          (n+1)2
          ,然后利用該等下進(jìn)行化簡(jiǎn)(1+
          1
          b1
          )(1+
          1
          b2
          )…(1+
          1
          bn
          )
          =2•
          bn+1
          (n+1)2
          ,然后利用放縮法可證得結(jié)論.
          解答:解:(Ⅰ)令t=
          an+1
          an
          ,則nt=
          n+1
          t
          +1⇒t=
          n+1
          n
          或t=-1(舍去)即
          an+1
          an
          =
          n+1
          n
          ,
          an
          an-1
          =
          n
          n-1
          ,
          an-1
          an-2
          =
          n-1
          n-2
          ,…
          a3
          a2
          =
          3
          2
          ,
          a2
          a1
          =
          2
          1

          將以上各式相乘得:an=n.…(4分)
          (Ⅱ)∵bn=n2[a1+
          1
          a22
          +
          1
          a32
          +…+
          1
          an-12
          ](n≥2)

          bn=n2[1+
          1
          22
          +
          1
          32
          +…+
          1
          (n-1)2
          ](n≥2)
          bn
          n2
          =1+
          1
          22
          +
          1
          32
          +…+
          1
          (n-1)2
          ,
          bn+1
          (n+1)2
          =1+
          1
          22
          +
          1
          32
          +…+
          1
          (n-1)2
          +
          1
          n2
          =
          bn
          n2
          +
          1
          n2

          bn+1
          bn+1
          =
          n2
          (n+1)2
          ;…(6分)
          當(dāng)n=1時(shí),1+
          1
          b1
          =2<4
          ,結(jié)論成立;…(7分)
          當(dāng)n≥2時(shí),(1+
          1
          b1
          )(1+
          1
          b2
          )…(1+
          1
          bn
          )=
          b1+1
          b1
          b2+1
          b2
          b3+1
          b3
          bn+1
          bn

          =
          b1+1
          b1b2
          •(
          b2+1
          b3
          b3+1
          b4
          bn+1
          bn+1
          )bn+1
          =
          1+1
          1×4
          (
          22
          32
          32
          42
          42
          52
          n2
          (n+1)2
          )bn+1

          =2•
          bn+1
          (n+1)2
          …(9分)
          2[1+
          1
          22
          +
          1
          32
          +…+
          1
          (n-1)2
          +
          1
          n2
          ]<2[1+
          1
          1×2
          +
          1
          2×3
          +…+
          1
          n(n-1)
          ]

          =2[1+(1-
          1
          2
          )+(
          1
          2
          -
          1
          3
          )+…+(
          1
          n-1
          -
          1
          n
          )]
          =4-
          4
          n
          <4
          .…(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及利用放縮法證明不等式,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知f(x)=lnx-ax2-bx(a≠0),
          (1)若a=-1,函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍.
          (2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)g(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)g(x)的最小值;
          (3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求證:an≤2n-1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(x>0)
          (1)若對(duì)任意的x∈[1,+∞),f(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.
          (2)若a=
          5
          2
          且關(guān)于x的方程f(x)=-
          1
          2
          x2
          +b在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
          (3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*.求證:an≤2n-1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          lnx+ax
          (a∈R)
          (Ⅰ)求f(x)的極值;
          (Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0,e2]上有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求證:an2n-1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年福建省三明一中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知f(x)=lnx-ax2-bx(a≠0),
          (1)若a=-1,函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍.
          (2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)g(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)g(x)的最小值;
          (3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求證:an≤2n-1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年福建省泉州市永春一中高三5月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知f(x)=lnx-ax2-bx(a≠0),
          (1)若a=-1,函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍.
          (2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)g(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函數(shù)g(x)的最小值;
          (3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求證:an≤2n-1.

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